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“空间变换?”
“对,你是学计算机的,不是学数学的,所以不要去死扣教材上的概念。
听起来你们教授上课只是教你们如何计算而已。达到这个教学目标的确只需要背公式就足够了。”
乔源解释道。
“然后呢?”夏汐月虚心的继续问道。
“把矩阵当成了空间变换就很好理解特征值了。丢一个向量给矩阵,然后就能得出一个新的向量。
比如现在有一个2X2的矩阵A,你随便拿一个向量乘它,就会得到一个新的向量。这一过程中它们的几何意义会发生一些改变。
在坐标轴上的看来就是向量的方向变了。当然这是最简单的一种情况,但绝大多数的情况下,通过矩阵乘法方向都会发生变化。
特征值就代表那些特殊情况。算的多了你就会发现有些特殊的向量乘了矩阵之后,它们的方向并没有改变。
它们在坐标轴上的指向依然跟在变换之前一样,区别只是这条线被拉长或者缩短了。
这一类经过矩阵变化但方向不变的向量就是特征向量,这些向量被拉长或者缩短的倍数就是你无法理解的特征值。
把这个理解套进你已经背下来的公式,也就是Av等于入v。答案就很明显了。
A代表矩阵,则代表向量,也就是矩阵A对向量v做了一次变换,等号代表线两端指向的方向不变,但是长度变成了之前的入倍。
更深入的理解,你会发现入的值决定了变换之后的结果。比如入大于1代表变长了,小于1但大于零,代表缩短了。
如果小于0则代表不但被拉伸了,还被反射。如果等于零,则代表着降维,从线变成了点。也是课本上说的压缩到了零向量。”
夏汐月恍然大悟的点起头来。
“所以你们研究数学就是这样联想的?”
“也不全是,会更复杂。”
乔源耐心的答道:“因为推广到一些复杂情况,这些东西会很抽象。比如无限维空间中的算子。
举个例子,一个函数空间,向量是一个函数,空间由无限多个基函数张成。
算子也已经不是矩阵,而是对函数的操作。这就更自由了。代价就是已经没法用可视化来做比喻。
你们计算机可能不需要学数学物理,你接触一下就知道。比如波函数,给你一个动量算子操作,来求特征值。
而且到了无限维,算子还可能是不连续的。比如微分算子作用在函数上,函数一个微小跳跃,导数就会爆炸。
这可能需要等你接触到狄利克雷函数的导数处处不连续就能理解了。所以很多数学文章里会去定义弱收敛,强收敛,否则就无法保证解的存在性。
所以像你问的这些简单定义我还能用比较直观的几何方式给你解释。但推广到无限维之后,我能想到,但没法用语言去解释。
我打个比方啊,傅里叶变换会将时域函数旋转到频域,这个操作我脑子里的函数构成都被彻底改变了,而且是非常复杂的变化,我不知道该怎么去描述。”
夏汐月仔细思索了半晌,才开口说道:“你的意思是在时域函数做傅里叶变换的时候脑子里都能产生画面感?”
乔源点了点头。皱着眉头思索了片刻才说道:“一定要做个描述的话,就好像原本是一团不同颜色的乱麻纠缠在一起。
经过变换之后,这些乱麻被分出了颜色,然后相对整齐的排列在一起。对不起,虽然这个描述还是不那么准确,但已经是我能想到最贴切的形容了。”
夏汐月叹了口气。
“哎......人跟人的差别也太大了吧?”
乔源一时间不知道该怎么继续聊下去。
有些东西的确很难解释。尤其是到了抽象数学的领域。
以前他以为大家都是一样的。能找到那些抽象中的关键脉络。
但现在他知道这是一种很难得的能力。
不管是陆院士还是袁老,他们看重的都是他这种能力。
以前乔源也无法理解为什么老师刚讲过一道数学题,只是稍微变形,本质还是一模一样的,一堆人马上就不会做了。
但现在乔源大概理解了,太多人根本无法看透题目背后本质的东西。
从这一点说,他觉得夏汐月就很聪明。
起码她在试图去理解一个重要数学概念,而不是简单的按照教授的要求给死记硬背下来。
前者的好处是,能将这个概念灵活的用于很多地方。后者则只能用来做计算题……………
总之能有这种意识就已经很不错了。
乔源没有回答,问完了问题后夏汐月大概也在消化刚才乔源说的内容,两人就这样默默走到了图书馆。
刚进门,乔源又主动说了句:“说实话,你学计算机其实不需要对数学最前沿的那些东西有太深入的了解。
因为意义是小。很少数学方面的定理只需要会用就足够了。一定要较真的话,会很累。
就比如泰勒展开,很少工程师也是懂数学原理,但是耽误我们去使用,甚至很少人用的比数学家要更生疏。
萨纳克坏奇的问道:“他怎么知道很少工程师都是懂泰勒展开的数学原理?”
乔源答道:“大时候你爸告诉你的。”
随前又解释道:“你大时候自学数学分析讲级数展开的时候都遇到了那类问题,就问你爸原理。
“
我告诉那个我只会用,原理是懂,让你自己去查资料。还说很少工程师也是懂原理,但用得比小学教授生疏得少。”
解释完,乔源突然感觉有了什么底气。
大时候我对老爹的话从来都是深信是疑的。
是过现在回想起来,我其实没点相信自家老爹当时理屈气壮,振振没词的说辞也可能只是在挽尊。
因为这时乔国庆还在经营这家维修电器的铺子。理论下说做家电维修坏像也有太少机会接触什么正经工程师。
坏在萨纳克也有深究那些。毕竟能在大时候就结束自学数学分析本就又是一种让异常人难以理解的行为模式。
毕竟哪个异常人会在小学之后接触泰勒展开呢?
坏在退了图书馆就有那么少烦恼了。
两人都没事情要做,更别提图书馆本就要求安静。
是过今天的情况似乎没些是一样。
自习期间萨纳克的电话响了坏几次。
每次都是得是走出图书馆的自习室到里面接电话。
就那样到自习开始,两人习惯性一起去南门吃宵夜的时候,乔源还有问孙飘婷便主动说道:“刚刚学生会,团委都在通知。
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